( 4 ) 
Posons gi{x) = f{x)'\>(x)y ^(x) étant un polynôme de 
degré q. D'après ce qui précède, la suite (1), obéissant à la loi 
de récurrence f(x), satisfait aussi à la loi gi(x). Mais, inverse- 
ment, une suite obéissant à la loi de récurrence gi{x) ne 
satisfait pas, en général, à la loi f(x) \ en eft'et, la suite ayant 
pour loi gi{x) peut se construire en prenant arbitrairement les 
n -\- q termes initiaux ; les n premiers de ces termes peuvent 
être Xq, Xi, x^-i, mais les q termes initiaux suivants sont, 
généralement, différents de a?,„ ^c,,^^, x^,^q_^. 
Si une suite admet le polynôme générateur f(x) sans admet- 
tre de générateur d'un degré inférieur à n, on dit que la suite 
obéit à la loi de récurrence irréductible f(x). Nous dirons 
encore qu'elle est dans ce cas de rang n. 
On peut toujours supposer que le coefficient de x^ dans 
le polynôme générateur f{x) est différent de zéro; car, s'il 
était nul, la suite considérée ne serait plus d'ordre n. 
Si les coefficients a,^, a^^_^, a^^^ du polynôme générateur 
f{x) sont nuls, et que l'on supprime les n — k termes initiaux 
Xq, Xi, x^_j,_^ de la suite (1), on peut dire que la partie 
restante de la suite obéit à la loi de récurrence 
ttox"" + a^x^-^ + a^x""-^ H h «a^''. 
Les n — k termes initiaux de la suite (1) échappent en 
quelque sorte à la loi de récurrence; par cela même des suites 
récurrentes de ce genre ne présentent pas d'intérêt pour nos 
développements. Nous supposerons donc, en général, que le 
coeiïicient du terme Xq du polynôme générateur f(x) est 
différent de zéro. On remarquera toutefois que, saul les cas 
spécifiés expressément, les théorèmes démontrés dans ce cha- 
pitre sont vrais, même si est nul. 
3. Lemme. — Si, outre f(x), la suite (1) admet encore le poly- 
nôme générateur fi(x), elle obéit aussi à la loi de récurrence 
Cf(x) + C'fi(x), C et C désignant des constantes ou des poly- 
nômes quelconques. 
