Supposons d'abord Cf(x) et C'fi(x) de même degré m et 
soient 
Cfix) = CoX-' + c.x^'-' + ... + c^af>, 
CTiW = ^0^^ + c[x^ + - + 
Co, r^, Cq, c^, c„'^ désignant des constantes. 
Pour toute valeur [j. ^ m on aura 
CoXfx + CiXfi^ ~h ••• "~h Cm^'fJL-m = 0> 
Cq^/x + Ci^fx_i + .♦• + (^y}V^fi-m — 0 i 
donc aussi 
(ro + Co)x,j, + (Ci + C[)X^_,^ h (C>n + 4)^,«-m = 0. 
Jl en résulte le lemme énoncé ci-dessus. 
Si le polynôme CYi(:r) était seulement de degré m — i, il 
suffirait de supposer Cq = = = ... = cj.^ = 0, =f 0. 
Théorème. — Si la suite récurrente (i) admet deux poly- 
nômes générateurs f (x) et f|(x), adme^ aussi comme généra- 
teur leur plus grand commun diviseur. 
En efïet, la recherche du p. g. c. d. des fonctions f{x) et 
fi(x) conduil à des polynômes f.^(x), f^(x), ff,(x), entre les- 
quels il existe les relations 
f(x) = axM^) -^-fix), 
flx) = flxMx) -f/sC^), 
h^{x) =ax)^n{x), 
où ^^i(:r), ^2(x), ^^{x) désignent des polynômes. Par hypo- 
