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7. Une suite récurrente est de même rang que sa matrice (*). 
Supposons que la suite récurrenle (1) obéisse à la loi de 
récurrence irréductible d'ordre r 
(6) x"" + ^i^**"" + b.^-^ -I h M'. 
On a les r égalités 
— = b^X^^i -\- 2 ~f~ * * • "i" bf-Xç), 
— '^r+i ~ b^Xy. 4~ bç^Xr-i. ~h • • • ~h ^r-^iJ 
Je dis que si l'on considère 6i, 62, 6^ comme des incon- 
nues, le déterminant du système (7) est différent de zéro. En 
effet, si l'on avait 
/i^_l= Il Xr-^ Xr-t ... ^0 I =0, 
le système d'équations (7) admettrait plus d'une solution. Dési- 
gnant par b[, boy b'^ une solution différente de 6^, 62, 6^, 
on aurait les égalités 
Xy' — h^x^__i -\- b.iX^_2^ ~\~ ' ' ' ~\~ b^Xç), 
- O-^+i = b[Xr + b'^Xr^ +-••• + b'rX,y 
Or il est facile de voir que la suite récurrente qui obéit à la 
loi de récurrence 
x"- + h[x''-' -h b'^''-^ H h b'rx"^ 
(*) L. KrOxNecker a donné de ce Ihéorème un énoncé différent dans son 
mémoire « Zur Théorie der Elimination einer Variabeln ans zwei alge- 
braischen Gleichungen ». {Monatsber. Akad. Berlin, 4881, p. 560.) 
