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et dont les termes initiaux sont Xq, x^, x<^, x^_^ coïncide 
avec la suite (1). En efïet, en vertu des relations (8), les 
termes x^^ x^^^, Xr>r-i sont communs aux deux suites. Dès 
lors celles-ci coïncident dans toute leur étendue comme ayant 
2r termes consécutifs Xq, x^, x^^_^ communs [6] (*). Mais 
aloi's la suite (1) obéirait à deux lois de récurrence différentes 
de même degré r, Tune de ces deux lois étant irréductible ; ce 
qui est impossible [3]. 
Tous les mineurs de la matrice M d'un ordre supérieur à r 
étant nuls [5] et l'un au moins des mineurs d'ordre r étant 
différent de zéro, la matrice est de rang r [5, Rem.], c'est-à-dire 
de même rang que la suite récurrente considérée. 
Remarque I. — Si la suite récurrente (1) obéit à la loi 
irréductible (6) et que l'on pose 
Il o-v-i ... x.,_r+^ — {v = r — \,r, ,.,), 
on a la relation 
(9) Vi = (-ir^r^. 
En effet, à la première colonne (!u déterminant A,^^, ajoutons 
lesr — 4 suivantes multipliées respectivement par6i,6c2, ...,6^_^; 
les termes de cette colonne, en vertu de la loi de récurrence (6), 
se réduisent à — 6^iCv-,-+i, — b^x.,_^^^, — b^x,,. On en 
déduit immédiatement l'égalité (9). 
On voit aisément que l'on a aussi l'égalité 
(10) A, = (-ir^r-+iA,_,. 
Donc, si une suite récurrente est de rang r, tout mineur régu- 
lier d'ordre r de sa matrice est différent de zéro. 
(*) Le renvoi à un autre paragraphe est indiqué par le numéro du 
paragraphe en caractères gras entre crochets. 
