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traires, x^, x^^^, x.^^^^ étant exprimées en fonction de ces 
variables an moyen de la loi de récurrence. 
Remarque I. — Si la suite récurrente (1) est de rang r < n, 
le déterminant s'annule et est également de rang r. 
Exprimons les éléments du déterminant \[u) par leurs 
valeurs en fonction de a?o, ^i, ^^2, ... , iCn-i ^t de u. On a les 
égalités 
X'n + «ife-i — W) + fl'2il?n-2 H \-a^Xo = 0, 
desquelles on déduit par soustraction 
X'n = + O^U. 
De même des égalités 
^n+i ~\~ ^i^n ~\~ ^2^n— 1 + * * ' ~h ^n^^i = 
<+l + «i(^n + «iW) 4- «2^-1 — W) H h «n^Cl = 0, 
on déduit 
OCn+i = iKn+i + («2 — 
En continuant de la sorte, on verrait qu'à partir de un 
terme de la suite (3) est égal à son homologue de la suite (1) 
augmenté du produit de u par une certaine fonction des coeffi- 
cients a^, ... du polynôme générateur f(x). , 
La suite récurrente (1) étant de rang r, le développement de 
suivant les puissances de u n'a pas de termes en m^, u*, 
u^, ... , M*^"**"*, car ces puissances de u sont multipliées par des 
mineurs d'ordre supérieur à r de la matrice de la suite (1). On 
conclut de là que l'équation tj^M = 0, qui est de degré n, 
an — r racines nulles. 
On peut du reste démontrer directement que, dans ce cas, 
{ 
