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w — r des facteurs Fi, Fg, F„ s'annulent. En effet, soit 
fi{x) la loi (le récurrence irréductible de degré r à laquelle 
obéit la suite (i). Désignons par p une racine de l'équation 
f(x) = 0 non comprise parmi celles de l'équation fi{x) = 0. 
La suite récurrente (1) admet le polynôme générateur ^zT'p' 
puisque celui-ci est divisible par f\(x). Dès lors la loi de récur- 
rence exige que la transformée indiciale de J^'^^ , c'est-à-dire 
le facteur F correspondant à la racine p [12], s'annule. On 
en conclut quen — r desn facteurs F|, Fg, F^ s'annulent. 
Réciproquement, si n — r des facteurs F,, Fg, F^ s'an- 
nulent, la suite récurrente (i) ét le déterminant sont de 
rang r. En effet, supposons que le facteur F qui correspond à 
la racine p s'annule. Si l'on remarque que r\^_^ = F, il résulte 
des relations (â) que ti., s'annule pour toute valeur v ^ n — 1. 
Mais -Aiv est la transformée indiciale de ^ ~^'^f{^) ^ 
x — p 
conclut que la suite récurrente (i) admet le polynôme géné- 
rateur Celui-ci doit évidemment être divisible par le 
X — p ' ^ 
polynôme générateur fzioo), qui est l'expression de la loi de 
récurrence irréductible à laquelle obéit la suite (1). (>eci 
n'est possible que si p n'est pas une racine de l'équation 
f^(x) = 0. Comme on peut dire la même chose des n — r racines 
de l'équalion f(x) = 0 correspondant aux n — r facteurs F qui 
s'annulent, on conclut que [^(x) est au plus de' degré r. Il ne 
peut du reste être d'un degré r' < r, car sinon n — r' facteurs F 
s'annuleraient, ce qui est contraire à l'hypothèse. 
ÏII. 
Propriétés des formes (f{f). 
15. Soit la forme 
associée du polynôme 
f(x) = a;'» -f a^x"^^ + a^x""-^ H h a^x^ 
