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Il peut arriver qu'il n'existe pas de polynôme ^x) tel que 
f(x) — p^x) admette des diviseurs rationnels; dans ce cas, la 
fonction f(x) est dite irréductible (mod. p), ou fonction première 
(mod. p). Il est évident qu'alors la congruence 
f(x) = 0 (mod.;)) 
n'admet pas de racine entière, car, si elle admettait la racine 
entière r, on pourrait assimiler x — r à l'un des facteurs 
La décomposition de f(x) — p^oc) en facteurs irréductibles 
est unique en ce sens que les facteurs d'une seconde décom- 
position sont respectivement congrus à ceux de la première 
(mod. p) n. 
30. Pour les raisons déjà exposées [10], on peut étendre 
aux suites récurrentes, suivant un module premier p, certains 
résultats établis précédemment pour les juites récurrentes 
ordinaires. 
Ainsi, on a le tbéorème suivant analogue à celui du n" â : 
Une suite récurrente qui admet (mod. p) le polynôme générateur ï[\) 
admet aussi le polynôme g(x) divisible par f(x) {mod. p). 
On peut démontrer directement cette proposition. En effet, 
soit 
g(x) = f(x)h(x)-{-pf2{x). 
La suite récurrente (1), obéissant à la loi f(x), admettra aussi 
(mod. p) le polynôme générateur f(x)h(x). Or, si gi{x) repré- 
sente ce produit effectué, les coefiPicients de g(x) ne diffèrent 
de ceux de gi(x) que par des multiples de p; donc [28] la 
suite primitive (1), ou encore toute suite congrue à celle-ci 
(mod. p), obéit aussi à la loi g(x) (mod. p). 
Si une suite récurrente admet le polynôme générateur f(x) 
de degré n sans admettre de générateur d'un degré inférieur 
(*) J.-A. Serret, toc. cit., § 343, p. 125. 
