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33. Le polynôme f(x) étant réductible (mod. p), soit 
^(x) = X'' + b^x"--' + b^x"--^ H h br^' 
un de ses facteurs (mod. p) de degré r < n. Prenons arbitrai- 
rement les valeurs Cq, Cj, c^.j, et considérons- les comme 
les termes initiaux d'une suite récurrente dont le polynôme 
générateur serait ^{x). Je dis que dans ce cas 
cp(ro, Ci, Cn-i) = Il Cn-i Col 
est divisible par En effet, à la s^^ colonne (s = 1, 2, . .. , 
n — r) du déterminant || c„_i c^-^ .•• i ajoutons les sui- 
vantes multipliées respectivement parô^, 63, b^. Les n — r 
premières colonnes du déterminant transformé sont divisibles 
par p ; ce qui démontre la proposition. 
11 se peut du reste que le déterminant soit divisible par une 
puissance de p supérieure à la (n — r)^^. 
Remarque L — On peut encore dire que si la suite (c) est de 
rang r (mod. p) [30], le déterminant récurrent \\ c„_i c^^^ ... Cq | 
est divisible par 
Remarque IL — Si f (cq, c^, c^_i) est divisible par p à 
la première puissance seulement, la suite (2) est de rang n — i 
pour le module p, 
34. — On rapprochera la démonstration développée au 
numéro précédent de celle du nMi : comme cette dernière, 
elle est évidemment extensible au cas où l'on remplace le 
module premier p par un module composé m. On a donc le 
théorème : Pour qu'un système de valeurs constitue une solution 
de la congruence çp(r)=0 (mod. m""""), il suffit que ces valeurs 
soient (mod. m) les termes consécutifs d'une suite récurrente dont 
le polynôme générateur est d'un degré v <xiet divise f{x) (mod. m). 
