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La loi de récurrence irréductible à laquelle elle obéit pourra 
s'exprimer par 
les racines r\ r^, . . . , étant au nombre de n — d, La suite 
récurrente (1) admettra aussi (mod. p) les polynômes généra- 
teurs obtenus en divisant a?** — 1 respectivement par x — r\ 
X — r^,...,x — On en conclut que 
£i = £K^"'=£i = ^ ( m 0 d . p) . 
Donc le rang d du circulant A, suivant le module p, déter- 
mine aussi le nombre n — d de ses facteurs ir qui sont congrus 
h zéro (mod. p). Inversement, si n — d facteurs iF de A sont 
congrus à zéro (mod. p), le circulant A est (mod. p) de rang d. 
En effet, la suite récurrente (1) admet alors comme générateur 
(mod. p) cbacun des polynômes correspondant à l'un de ces 
n — d facteurs iF, donc aussi leur p. g. c. d. qui est de degré d, 
puisque les racines r^, r^, r'^, r"~^ sont toutes distinctes. 
On rapprochera ces conclusions de la Remarque ï du n'^ 14. 
39. Supposons ensuite que pour le module premier p la 
congruence 
Xn — 1 
= x^-' -f H aî« = 0 (mod. p) 
X — 1 
soit décomposable en s facteurs irréductibles de degré d> \ , 
de sorte que n — 1 = sd. Si la suite (1) est (mod. p) de rang 
n — d, le déterminant A sera divisible par p'^[33. Rem. l]. 
En particulier, si A =p^, et que Fq = 1, les facteurs F^, 
Fg, ...,F^_^ de A sont des nombres complexes premiers. 
On peut démontrer que ces facteurs peuvent être combinés s 
par 5 de façon que leur produit soit égal à p. Comme nous ne 
ferons pas usage de cette proposition, nous renonçons à l'établir; 
au surplus, la démonstration n'en est aisée que si l'on a recours 
