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aux imaginaires de Galois, dont nous préférons éviter l'emploi. 
On sait que Kummer est arrivé à des résultats analogues 
par des voies différentes (*). 
40. n étant premier, supposons que le circulant A soit 
divisible par n'après que ses éléments ont été débarrassés, s'il 
y a lieu, du facteur commun n^. On détermine aisément à 
quelle puissance n divise le facteur F^. Pour savoir à quel degré n 
divise A, il reste à déterminer à quelle puissance 6 l'un des 
facteurs (i = 1, 2, n — 1), par exemple F^, contient 
p — 1, p ayant la signification déiinie au n° 21; car il est 
évident que F^ (i = 2, 5, . . . , n — 1) contient autant de fois 
p* — 1 que Fi contient de fois p — 1 . Ceci est du reste conforme 
à une remarque précédente [26, Rem. 111]. 
Remarquons que l\ peut contenir au plus n — 1 fois le 
facteutp — i ; en effet, Fj est une fonction de degré n — 1 au 
plus en p, et ses coefficients numériques, par hypothèse, ne 
sont pas tous divisibles par n ; or, si Fi était divisible par 
(p — i)**, tous ses coefïîcienls seraient divisibles par n, ainsi 
qu'il ressort immédiatement du développement de (p — i)". ' 
Pour que Fj soit divisible par p — 1 à la puissance 9 
au plus, il faut et il suffit, en tenant compte de la relation 
n = e(p — 1)''~^[26, Rem. HI], que cette fonction et ses dérivées 
par rapport à p, jusqu'à celle d'ordre 0 exclusivement, soient 
divisibles par p — 1. Or les indications fournies par ce critérium 
ne sont modifiées en rien si l'on ajoute à F^ un ou plusieurs 
termes Cn^'p*'' où C est une constante numérique, et où yi et 
ri' sont des entiers positifs, 'f\ seul étant astreint à la condition 
d'être plus grand que zéro. Mais alors le critérium que nous 
venons d'énoncer peut se remplacer par le suivant : Pour que F^ 
soit divisible par p — 1 à la puissance 9 au plus, il faut et il 
suffit que cette fonction et ses dérivées par rapport à p jusqu'à 
celle d'ordre 6 exclusivement soient congrues à zéro (mod. n) 
pour p = 1. 
(*) E.-E. Kummer, loc. cit. 
