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de degré d est que n — d des facteurs £" (mod. p) de AB soient 
congrus à zéro (mod. p) [38]. 
Or, la congruence x"^ — 1=0 (mod. p) ayant n racines 
réelles, on peut étendre les conditions du n** 42 aux facteurs £ 
(mod. p) et écrire la relation 
~£i'^£i£n-i (mod.p) 
analogue à l'égalité (2). Il en résulte que la congruence 
£y =0 (mod. p) exige que S'i^O ou que ir^.^^O (mod. p). 
On voit que la loi irréductible à laquelle obéit le circulant AB 
est précisément la loi à laquelle il obéit en vertu du théorème 
du n*^ 45. 
47. Supposons maintenant que p = n, n étant premier. 
D'après ce qu'on a vu [26, Rem. III], le problème qui nous 
occupe revient à déterminer à quelle puissance l'un des fac- 
teurs F-' (i 1, 2, . . n — 1) de AB contient p — i. 11 résulte 
de la relation (2) que c'est à la puissance ô + ^' si les facteurs 
et ¥'n_i contiennent p — 1 respectivement aux puissances 
6 et ô'. On en conclut [40] que si les circulants X et H obéissent 
respectivement aux lois irréductibles (x — {mod. n) et 
(x— {mod. n), le produit AB obéit à là loi irréductible 
(x — 1)"-^-®' {mod. n). 
Cette loi est d'ordre zéro, c'est-à-dire que tous les éléments 
du cit-culant AB sont divisibles par n, pour 9 + 9' ^ n. 
On remarquera que si 9 et 9' sont compris entre 0 et n, 
autrement dit si les circulants A et B sont divisibles par n sans 
que tous leurs éléments le soient, le circulant AB obéit toujours 
(mod. n) à une loi irréductible d'un degré moindre que la loi 
définie au n° 45. 
48. Si Von transforme les circulants A et B en prenant leurs 
é éments de m en m [19, Rem. I], l'élément initial restant le même, 
le produit des nouveaux circulants se déduit du circulant AB en 
prenant les éléments de m m, l'élément initial restant le même. 
