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De la formule 
et de la relation (â) on déduit 
(3) 3T.(G(f.0) = T?nn(Pi-''^-^ = ll3G(«')ll»- . 
i=l j=i 
La suite (1) étant de même rang que le déterminant 
II^G W IL ['^'J» conclut de la proposition ÏI et de la rela- 
tion (5) que, pour que les fonctions /" et G aient racines 
communes, il faut et il sutfit que le déterminant |1 3G(v)||n 
soit de rang n — n^. Ce déterminant, peut encore être consi- 
déré comme étant la re'sM^^an^e des fonctions /'et G. 
V. — En particulier, si G{x) est égal à la dérivée ^(x) de 
f(x) , on a 
i=n 
On peut, dans cette formule, donner à h toutes les valeurs 
entières aussi bien positives que négatives si l'on convient de 
prolonger la suite fondamentale à gauche (*). 
Si A, est le discriminant de f, on a l'égalité 
^i = \\2r(v)\\n> 
qui est l'expression d'un théorème connu. 
VI. — Si E{x) est une fonction entière quelconque, qui 
du reste peut se réduire à x^, c'est-à-dire à l'unité, et que 
l'on pose 
\, = lE(v)\G(v)]' (i = 0,1,2,...), 
(*) Voyez note (*) p. 3. 
