( 71 ) 
X. — La proposition précédente permet de résoudre de façon 
élémentaire le problème suivant : Existe-t-il des nombres 
algébriques entiers lorsque /" et G sont des fonctions à 
coefficients entiers, p étant un nombre premier. 
Le cas le plus simple est celui où 
(4) f^G^ (mod.p), 
8 étant un nombre entier. On écrira alors l'égalité 
i=i 
OÙ Li sont des fonctions de degré moindre que m. 
De cette égalité on déduit aisément, en tenant compte de la 
proposition IX, que la condition suffisante pour que soit 
un nombre algébrique entier est que dans la relation (5) 
on ait 
(6) 
La réciproque, c'est-à-dire la démonstration que cette con- 
dition, qui est suffisante, est aussi nécessaire, ne présente pas 
non plus de difficulté. 
Si la relation (5) n'a pas lieu, il faut cependant que la fonc- 
tion G contienne (mod. p) tous les facteurs premiers (mod. p) 
de f. On déterminerait la fonction Q de moindre degré qui, 
multipliée par donne un produit congru (mod. p) à une 
puissance entière 8 de G. On écrirait une relation analogue 
à (5) dont le premier membre serait Qf. Les conclusions sont 
les mêmes que ci-dessus. 
Liège, juin 1919. 
