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harmonique A'(PP'EL) est coupé par YZ suivant la ponctuelle 
harmonique (PiP^AAi); les points P^, P^ appartenant respec- 
tivement aux tangentes p, (2), le point est un élément 
double de Tinvolution déterminée sur YZ par les tangentes 
correspondantes. Par suite, 
Les tangentes correspondantes déterminent sur les côtés d'un 
triangle XYZ circonscrit à la courbe Cf des involutions ayant 
respectivement pour éléments doubles A A|, B et B^, et C et Ci; 
les trois points A, B, C sont sur la tangente double EF. Si A\ 
B', C sont les traces sur EF des troisièmes tangentes issues des 
sommets X, Y, Z, les droites A'A^, B'B|, C'Ci concourent au 
pôle L de la droite EF relativement à la conique S = (XYZEF). 
36. Le couple de points tt ee (EF, p), tJ = (EF, p') décrit 
une involution (nrJ) (30) projective à la ponctuelle (a) décrite 
par le conjugué a du point A relativement au couple utt'. Les 
ponctuelles harmoniques (AA^P^P^), (AaTru') sont perspectives 
et le point d'intersection des droites p = 7lPi, p'^iz'P'^ est 
situé sur le rayon Aja. Ce rayon décrit autour du point Aj un 
faisceau projectif à la ponctuelle (a) et, par suite, projectif 
à l'involution (tûti'). On en conclut : 
Les faisceaux qui projettent des points Aj, B|, (55) les 
points d'intersection pp' des tangentes correspondantes variables 
p, p' sont projectifs. 
Le point pp' décrit une conique <î> passant par les points 
de contact de la tangente double EF (*). 
Car si tz coïncide avec E, pp' est identique à E. 
37. — Les points de contact C^, C^, des tangentes corres- 
pondantes p, p' sont sur une tangente t (50); soient H = (pp'), 
G = (C,^\ C/Tt), G = (EF, t), K = (EF, HG), U = (t, HG). De 
(*) Steiner, loc. cit., p. 642; Cremoxa, toc. cit., p. 103. On peut aussi 
déduire cette propriété du n° 17. 
