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50. Étant donnés un point X de la courbe Q, la tangente x 
en ce point, les points de contact E, F de la tangente double EF, 
construire le rayon de courbure au point X en supposant 
comme éléments également connus : 
1" La tangente y issue de X et une tangente p; 
2° Deux tangentes quelconques p et r. 
Dans la première hypothèse on a immédiatement le point 
Pli = (Xtt, YiP^) (46) et le problème est ramené à la construc- 
tion du rayon de courbure au point X de la conique déter- 
minée par X, X, E, F, P||. 
Dans la seconde hypothèse, soient 
R,^(a^,r), p = (EF,r), R,,^(Xp,RJa H = (EF,P,Ai), 
U ^ (R.TT,, P,,R,,), U' = (P,p, P,,R,,), V ^ {X, 
On a 
d'où 
Mais 
(R.XVXJ = (UPhVH) (P.XVX,) = (U'R,,VH); 
(R,P,VX,) = (UU'VH).(R,,P,,VH). 
(R,P,VX,) = (R,,P,,VH); 
donc U EE U'. Par suite, 
Si p, r sont deux tangentes quelconques à la courbe Cf ; tt, p, 
Pi, Ri leurs traces sur la tangente double EF et sur la tangente 
x; P^i, les secondes intersections des droites Xtt, Xp avec la 
conique S^, le point U = (Pip, Ri^) est situé sur la droite P^^Rn. 
La conique les couples de droites (XR^^jXPii), (x, P^iRn) 
déterminent sur EF des couples de points en involution. Par 
suite, connaissant le point U, la droite P^ Ru est le rayon de 
rinvolution U (EF, tto) conjugué au rayon UX^. La droite 
P41R11 étant construite, on a immédiatement les points Pi^, R^^,. 
et la conique Sj est déterminée. 
