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Ce sont là précisément les équations paraméli iques générales 
des pseudo-trochoïdes, dont le pôle est à l'origine des coor- 
données, (0 étant le paramètre variable. Nous sommes donc 
amené à la conclusion suivante : une pseudo-trochoïde peut 
s'engendrer par le mouvement d'un point qui |)arcourt une 
hyperbole conformément à la loi harmonique, pendant 
que cette courbe tourne uniformément autour de son centre. 
13. Il est aisé d'établir les formules qui relient cette 
génération hyperbolique des pseudo-trochoïdes à la géné- 
ration circulaire déhnie par les éléments R, r, h, ou à la 
description par un parallélogramme articulé, définie par les 
éléments h, h',X- s"^^*' remarquer que les formules (6) 
se transforment dans les formules (16) en remplaçant 6 par ^, 
p par ip, a par îa, avec i =\/ — 1. On obtient alors sur- 
le-champ, par les formules (12), dans lesquelles ^ sera rem- 
placé par — i^, 
—kb h-^ja _ (i— S^)a , 2ga + (l — ._« + ^"^ 
formules dans lesquelles Ç désigne le rapport réel^. Les équa- 
tions (15) conduisent pour R', r', h' aux valeurs complexes 
conjuguées de R, r, Les formules (14) sont remplacées par 
Ces formules satisfont bien aux conditions que l'on sait être 
nécessaires pour qu'une pseudo-trochoïde réelle soit engendrée 
par le roulement de cercles complexes, à savoir que R + r et /i 
aient des valeurs conjuguées et que |R-{-r| = |rj = |/i|. 
14. Quand h = — r, la courbe est appelée paracycloïde ; 
les équations (17) montrent que la condition équivaut à 
