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Soient ABC un lriani>le sphériqiie, B' el C les projections 
stéréographiqiies de B et C par rapport an centre d'inversion Aj, 
diamétralemenl opposé à A (fig. On a (c), le rayon de la 
sphère étant I, el, par suite, la puissance d'inversion étant 
égale à 2, 
a 
B'C' = 
A,B . A,C 2 
2BC 
b c 
cos - cos - 
2 2 
puis 
OB' = tgOA,B = tg^, OG' = tg^ 
Si l'on multiplie les côtés du triangle OB'C par cos ^ cos ^, 
on obtient 
B'C 
sin 
r 
c b b c 
OB' = sin - cos -, OCJ = sin - cos -; 
2 2 2 2 
ce sont les côtés du triangle des éléments. 
^ Pour calculer les angles du 
triangle OB'C, remarquons 
que les côtés OB', OC, B'C 
sont les inverses des grands 
cercles ABA|, AGA4 et du 
petit cercle AiBC; les angles 
du triangle OB'C sont donc 
égaux aux angles que forment 
entre eux ces trois cercles; par 
suite (1), 
0 
A, B' 
C = C- 
B — K, 
E. 
Ainsi, k triangle des éléments 
est semblable au triangle ayant pour sommets les projections 
stéréographiques des sommets A, C sur un plan perpendiculaire 
au rayon OA, 
