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suite, les cercles AB'C, BA'C, CA'B\ sections d'une même 
sphère par des plans équidislants du centre, sont égaux entre 
eux. Or, on a A'B = A'C; par conséquent, les angles BC'A^, 
CB'A' sont égaux. Posons 
BC'A' = CB'A =x, AC'B' = CA'B' = !/, AB'C = BA'C = 
nous aurons 
X ^ y = Tz — C, X + z = Tz — B, y z = Tz — A; 
d'où 
x-]-y J^z=^'K — E, x = A — E, y = B — E, z = C — E. 
Les triangles AB'C, BA'C, CA'B' sont donc semblables aux 
triangles des éléments du triangle ABC. Pour calculer leurs 
côtés, remarquons que si M et N sont les milieux des droites 
AB, AC, on a 
OM . OC = ON . OB' = 
Les points A, B', C sont donc les inverses de A, N, M par 
rapport à 0, la puissance d'inversion étant OA^ ou 1 ; par 
suite (5, e), 
B'C=-^. 
OM . ON 
Or, 
MN=^BC=sin^, OM = cos^, ON = cos^; 
2 2 2 2 
on a donc 
. a 
sin - 
B'C = -, AB' = OA tg AOB' = tg -, AC tg ^. 
cos - cos I 
b c 
Il suffit de multiplier ces côtés par cos ^ cos - pour obtenir les 
côtés du triangle des éléments sous leur forme ordinaire. 
