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6. Les relations qui concernent la surface d'un triangle 
sphérique, l'arc qui joint les milieux des deux côtés et son 
inclinaison sur le troisième côté, le rayon du cercle de Lexell 
se démontrent immédiatement si l'on observe que tous ces 
éléments figurent dans un même triangle rectangle; ce triangle 
permet d'obtenir d'autres relations remarquables. 
Soient 0 et 0' (fig. 4) les pôles des cercles circonscrits au 
triangle ABC et à son 
complémentaire A'BC. 
Nous avons vu (1) que 
l'angle O'BC est égal 
à ^ — E ; par suite, 
lorsque BG est fixe et E 
constant, le point 0' est 
fixe; A' décrit donc un 
petit cercle ayant pour 
pôle 0'; A décrit alors 
le petit cercle symétrique 
par rapport au centre 
de la sphère (cercle de 
Lexell); O'B est donc 
égal au rayon sphéri- 
que p du cercle de 
Lexell. 
Soient M, N, P, M', 
N' les milieux des arcs AB, AC, BC, A'B, A'C; les arcs MM', 
NN' sont des quadrants et O'M' est perpendiculaire à MM' ; 
par suite, M est le pôle de O'M' et de même N est le pôle de 
O'N'; donc 0' est le pôle de MN et de même 0 est le pôle 
de M'N'. Si K, K', L sont les points de rencontre de MN avec 
O'B, O'C, O'A, les couples de triangles rectangles BKM et 
ALM, CK'N et ALN sont symétriques et Ton a MK = ML et 
NK' = NL; par suite, KK' = 2MN et l'angle BO'P a la même 
mesure que l'arc MN. 
Si l'on remarque enfin que l'angle Q des arcs MN et BC a 
même mesure que PP', c'est-à-dire que^ — O'P, on voit que le 
