( 41 ; 
La démonstration trigonométrique de ce théorème est immé- 
diate. En effet, les triangles rectangles AML, ANL donnent 
. cos AML sinOMN . , sin ONM 
sin MAL = — = -— , sin NAL 
cos AL cos AL ' 
cos AL 
d'où 
sin MAL sin OMN sin ON sin OAN 
sin NAL sin OiNM sin OM sin OAM 
8. On sait que les hauteurs d'un triangle sont les bissectrices 
des angles de son triangle orlhique. La démonstration géomé- 
trique de ce théorème courant se fait d'ordinaire en passant par 
la trièdre; la démonstration suivante, basée sur le théorème 
précédent, est simple et ne nécessite que des constructions 
effectuées sur la s|)hère. 
Soient AA', BB', CC leshauleursdu triangle ABC, AD et AEdes 
arcs de grand cercle perpendiculaires à A'B^ et A'C (fig. 6) (*). 
L'arc A'C joint les pieds des arcs 
menés par <> perpendiculairement 
à AA' et à AB; donc AD est Tiso- 
gonal de AC par rap[)orl à l'angle 
BAA'; les angles EAA', BAC sont 
donc égaux ; de même Dx\A' ^ BAC; 
par suite, les triangles rectangles 
AA'l), AA'E sont symétriques et les 
angles DA'A, EA'A égaux. 
Comme il est aisé de démontrer 
géométriquement que les arcs bis- 
secteurs des angles d'un triangle sont concourants, le théorème 
précédent permet de démontrer par la géométrie que les hau- 
teurs d'un triangle sphérique sont concourantes. 
9. Pour démontrer les relations existant entre les rayons 
sphériques des cercles inscrits ou ex-inscrits à un triangle, les 
arcs qui joignent les sommets aux pôles de ces cercles, les 
angles que forment entre eux les arcs bissecteurs des angles, on 
FiG. 6. 
(*) Le lecteur est prié d'intervertir les lettres B' et G' de la figure 6. 
