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X'Y'Z'U' ainsi obtenu sera appelé le second quadrilatère recti- 
ligne associé à ABGD et Ton aura (§16) 
a c b d b d 
\'r = CCS - ces -, Y'Z' = ces - ces -, Z'U' = sin - sin -, 
U'X' = sin^sin^, Y' = E, U' = A + C — E. 
La diagonale X'Z' est égale à sin ^ sin |. En effet, si A', C, D' 
sont les points inverses de A, C, D par rapport au centre 
d'inversion B (puissance /c), on a 
, , _ fe.sin - . sin - 
~BA.BC~^ . a . b' ^ ^ . a , f 
2 sin -sin- 2 sin -sin - 
2 2 -2 2 
. sin~ 
2 
CD 
b f 
2 sin -sin - 
d'où 
f g b d a c 
A'C : A'D' : CD' = sin - sin - : sin - sin - : sin - sin - • 
2 2 2 2 2 2 
L'angle D' du triangle A'CD' est égal à l'angle des cercles 
ABD, ACD, inverses des droites A'D', CD'; or, ces cercles font 
avec BD des angles égaux à A-E', C-E" (§1); donc D' = A 
+ C — E = U'. Par conséquent, les triangles A'CD' et Z'X'U', 
qui ont un angle égal compris entre côtés proportionnels, sont 
semblables et l'on a 
X'Z' sin;{sin^. 
2 2 
Les éléments du quadrilatère X'Y'Z'U' sont indiqués dans la 
figure 13. Ce quadrilatère se réduit au triangle X'Y'Z' quand 
ABCD est inscriptible. 
