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4. Les bf,h, bf,j, b\f^, b'j^,, f/i, j == 1 , 2, . . . n) définissent les 
éléments des détei minanis B, B' donl nous devons nous occuper. 
Mais, avant de passer à Tétude directe de ceux-ci, donnons les 
relations qui doivent exister, en vertu de (8) et (9), entre ces 
éléments. 
Dans les expressions des x au moyen des y (formules 9), 
substituons les valeurs des y données par les équations (8). 
Il résultera de là un groupe de n relations linéaires entre les 
indéterminées Xi, x^, . . . Xf^ : 
X, = X, ^ b,j, b\j, + x^ ^'i/t ^'2ft + . . . + 2] ^ift b\^ ; 
K h K 
^2 = ^1 ^ hh b'ih + X2 J^b2f,b'2k + ^ x„J^ b^f, b\j, ; 
h k k 
Xn=x,^ b„j,h\^ + ^2!] bnk^''2k + + 2!I b„f,b'„f,\ 
h k k 
(k = i,%...n). 
Comme ces relations doivent avoir lieu pour des valeurs 
arbitraires de x^^x.2, ... XJ^, elles sont des identités. Par suite, 
leur vérification exige l'existence des conditions suivantes, que 
nous appellerons désormais « équations de réciprocité » : 
I; Kk - 1 ; If Kk 0 ; (h,j = 1, 2 ... r2 ; /i Z:./). (12) 
ft=d k=i 
On ne manquera pas de remarquer l'analogie qui existe entre 
ces égalités et celles que l'on emploie habituellement pour 
définir un déterminant orthogonal (*), 
(*) En partant d'un déierminanl gauche, Cayley est parvenu, par une ana- 
lyse peu différente de celle que nous venons d'exposer, à donner une méthode 
pour la construction de certains déterminants orthogonaux de valeur -|- 1. 
11 se sert des sommes xn + yn au lieu des différences xn — yn- (J- de Crelle, 
t. XXXIl.) On peut montrer que les deux procédés doivent conduire au même 
résultat; mais pour le cas envisagé ici, le procédé de Cayley amènerait pour 
les bjk et b^jk des expressions plus compliquées que celles qui sont écrites. 
