( 16 ) 
Ce déterminant n'est autre cliose que D, où l'on a remplacé 
les )^ premières lignes par les X premières colonnes. 
On peut le calculer par application du théorème de f.aplace. 
Le développement se tera en divisant le tableau carré en deux 
matrices rectangulaires horizontales, l'une d'elles comprenant 
les premières colonnes de D. 
Concevons, d'autre part, le développement de D effectué 
suivant la même règle, mais en divisant le déterminant en 
deux matrices verticales dont la première est constituée par 
les X premières colonnes. 
On déduira le premier développement du second par substi- 
tution dans ce dernier au complémentaire de chaque mineur 
d'ordre n — ^ formé dans la matrice des X premières colonnes, 
du déterminant mineur de D que l'on obtiendrait en permutant 
dans ce complémentaire les indices des lignes et des colonnes. 
En se reportant à la première remarque de l'alinéa 5, on 
voit que cela revient à remplacer ce complémentaire par la 
quantité imaginaire conjuguée. 
A chaque produit de D par un mineur principal de B d'ordre X, 
^/t,»i,?i2^î,...ft>fe;» correspondra une expression analogue, si la 
première matrice servant au développement est constituée des 
colonnes de D d'indices ki, k<^, ... 
Faisons la somme de tous les produits possibles, en 
nombre Ç?^- résultai est contenu dans l'énoncé qui suit : 
Le produit de D par la somme de tous les mineurs principaux 
d'ordre 'k de D est égal à la somme des C^ développements de D 
obtenus, par la règle de Laplace, après avoir divisé D de toutes 
les façons possibles en deux matrices verticales dont l'une est 
formée de X colonnes ; sauf qu'il faudra remplacer dans chaque 
terme le complémentaire du mineur d'ordre n — X par la quan- 
tité imaginaire conjuguée à la valeur de ce complémentaire. 
Ou encore, puisque chaque développement contient C^ 
termes. 
Le produit de D par la somme des mineurs principaux 
d'ordre X de B est exprimé par la somme des (C^)^ mineurs 
d'ordre n — X de D, chacun étant multiplié par la quantité ima- 
ginaire conjuguée à son complémentaire. 
