( 31 ) 
Mais le premier membre de l'identité (24) peut seulement 
changer de signe avec x (si n est impair); il doit en être de 
même du second. Posons 
V = ^ 
X 
et développons suivant les puissances de î/. Le polynôme 
ne pourra contenir que des termes en î/ de même parité. 
Tenant compte du théorème VIII (ou Vlïl') on conclut : 
Théorème IX. — A une racine simple ou double y = 0 près, 
toutes les racines de l'équation 
4>(2/) = o 
sont égales deux à deux en valeur absolue, et de signes contraires. 
16. Celte proposition permet d'en énoncer immédiate- 
ment une autre qui se rapporte au déterminant des diffé- 
rences bjk — b'^j : 
bu 
-bu 
I>i2 - 
l'u ■ 
■b,„- 
• 
E = 
— Ki 
''22 — 
b'a ■ 
b\i 
(28) 
lu 
-b[. 
b„2 — 
En effet, dans le développement de ^(y) suivant les puis- 
sances de y, le coefficient (nul ou non) du terme de degré n — h 
est précisément la somme des mineurs principaux d'ordre n — h 
de E. D'ailleurs, si le polynôme <\i(y) est de degré impair, le 
déterminant E est nul. 
Par conséquent, 
Théorème X. — Soient bj/^, b'ji^ les éléments des détermi-- 
