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17. Il nous reste à examiner quelques cas particuliers de 
l'équation 
B(a;) = 0. 
Nous supposerons, en premier lieu, que B se réduit à un 
déterminant orthogonal, el, pour éviter toute confusion, nous 
représenterons ce déterminant par S. 
Le premier théorème que l'on rencontre à ce sujet est un 
énoncé de Brioschi [Journ, de Liouville, vol. XIX, p. 253). 
Cette proposition s'applique, en fait, à des déterminants ortho- 
gonaux de valeur 1, obtenus par un procédé dû à Cayley (*). La 
voici sous sa forme originale : 
Véquation 
S{x) = i) 
a, lorsque n est impair, une racine égale à l'unité et n — 1 racines 
imaginaires et deux à deux réciproques ; lorsque n est pair, les 
racines sont toutes imaginaires et deux à deux réciproques. 
La démonstration donnée par Brioschi suppose les éléments 
de S réels; la méthode de Cayley, qui a pour point de départ 
des déterminants gauches, exclut les orthogonaux symétriques. 
On trouve le théorème de Brioschi étendu au cas de S = — 1 
dans / Determinanti de M. Pascal (p. 214) : 
Si S = — 1 , l'équation réciproque 
S(aj) = 0 
a, pour n impair, la racine x = — 1 et aucune autre racine réelle; 
quand n est pair, elle a les racines x = 1,x = — 1 et aucune 
autre racine réelle. 
Encore ici, il est question de déterminants à éléments réels. 
Nous obtiendrons cette proposition en combinant, pour le 
cas particulier des déterminants orthogonaux, les énoncés VIII 
et VIII' avec le suivant : 
Théorème XI. — Véquation S(x) = 0 correspondant à un 
(*) Voir Journal de Crelle, vol. XXXII, p. Id9, ou encore la note, p. 11. 
