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II. Ce procédé ne fournit aucun renseignement sur la réalité 
des racines quand certains éléments de S sont imaginaires 
II peut se faire alors, comme nous le verrons, que toutes les 
racines soient réelles. 
19. — Dans ce qui précède, la condition que les déter- 
minants orthogonaux considérés ne soient pas symétriques est 
essentielle. Pour ces derniers on obtient cette proposition 
extrêmement simple : 
Théorème Xll. — L'équation S(x) =0 correspondant à un 
déterminant orthogonal symétrique (à éléments réels ou complexes) 
a toutes ses racines réelles et égales à =t: 1 . 
La démonstration est immédiate, si l'on se rappelle que dans 
cette hypothèse tous les éléments du déterminant Ë sont nuls. 
]1 en résulte que le polynôme cp {x) est dans ce cas 
(1 — x^y. 
Exemple. — Soit donné le déterminant orthogonal symé- 
trique 
1 2 2 1 
~3 3 ~3 
3 3 3 
On obtient 
S{x) = (x-^\y (a;— 1) = 0. 
Avec les déterminants orthogonaux symétriques, nous sommes 
ramenés aux déterminants B, étudiés dans la première 
partie. Les premiers, en effet (6), sont des cas particuliers des 
