( 44 ) 
Ce déterminant est symétrique. Nous poserons 
et nous développerons le polynôme suivant les puissances de y. 
A cause d'une propriété déjà rappelée des déterminants symé- 
triques à éléments réels, l'équation 
^{y) = 0 
n'aura que des solutions réelles. 
Si n est impair, l'une des racines sera y = 0; elle rendra la 
soliltion x = i théorème VJlï. Cette racine est simple (*). 
A présent, soit y = p, une des racines autre que y = 0. En 
substituant cette valeur dans (29), on obtient une équation du 
second degré 
+ ^pix — 1=0, 
qui fournit deux solutions réciproques appartenant toutes deux 
à l'équation B (x) = 0, ou à B (— j;) = 0. Comme p est réel, il est 
visible que ces valeurs de x ne peuvent être qu'imaginaires. 
Cela achève la démonstration du théorème. 
25. Si l'on fait sur les éléments des déterminants B, B', 
qui viennent d'être considérés, les seules hypothèses impliquées 
par leur construction, l'étude de l'équation 
B{x) = 0 
paraît assez compliquée. 
(*) Les conditions qui définissent, dans le cas considéré, les éléments 
de B et de B' excluent, en général, la possibilité d'une racine y==0, double 
ou triple. Si ce cas peut se présenter, il sera tout à fait exceptionnel. 
