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admettent dans le domaine de (0) un et un seul système de 
solutions 
yi = <fi(x^...x,) (i = 1,2...?/), (4) 
les çp,- étant holomorphes en Xi = . . . =Xg = 0. 
On peut donc dire que le théorème des fonctions implicites 
ramène un système d'équations holomorphes quelconques (3) à 
un système d'équations (4) algébriques {*\ du premier degré 
en yi...î/„et à coefficients holomorphes en Xi...Xsj pourvu 
que l'on ait (J|) o 7^0. 
Mais si Ton a (Ji)o = 0, on ne peut plus rien conclure rela- 
tivement aux solutions de (3) dans le domaine de (0). 
On peut se demander cependant si, au moins en général, on 
ne pourrait pas alors ramener le système (3) à un système 
d'équations algébriques en i/j . . . ^ coefficients holomorphes 
en Xi...Xg, les degrés de ces équations algébriques étant 
convenables. 
2. Il en est bien ainsi lorsque le système (3) se réduit à une 
seule équation 
F(yx,...x,) = 0, (5) 
comme le prouve le célèbre « lemme de Weierstrass )>. 
On a maintenant 
et si l'on suppose en outre 
il sera équivalent, d'après ce lemme, de considérer, au lieu de 
(*) Dans ce qui suit, nous dirons souvent « équation algébrique », au lieu 
d' « équation rationnelle entière ». 
