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l'équation (5), dans le domaine de (0), une équation rationnelle 
entière de degré p : 
yPJrO,f-^-^"- + a^^0, (6) 
les coefficients «1 ...a^ étant des fonctions dex^ ...a?, seulement, 
holomorphes et s'annulant en = ... = x, = 0. 
Comme nous allons l'indiquer, ce lemme peut fournir, mais 
de manière bien peu satisfaisante, la réduction du système (3) 
à un système algébrique en ... y^. 
Considérons, en eff'el, chaque équation F^- = 0 (j = 1 , 2 ... n) 
du système (3) comme une équation en y^. D'après ce qui vient 
d'être dit, elle sera, en générai, équivalente dans le domaine 
de zéro à une équation 
/;. = 0 a = i,2...n) (7) 
rationnelle entière d'un certain degré Pj en y^ et à coefficients 
bolomorphes en yc2 ... x^ ... Xg s'annulant au point zéro (*). 
Pour un système de solutions i/i = . . . = x^ = 
... Xg = eg de (3), ces équations fj = 0 seront vérifiées, et ainsi 
le résultant de deux quelconques de ces équations par rappoit 
à i/i s'annulera pour les valeurs 1/2 = . • • î/n = ^1 = ej 
. . . Xg = Eg. 
Appelons, par exemple, 
F'2(yz...y^.x,,..Xg),... F'„ {y^... y^x^... x,) 
les résultants des équations (l\ (fi f^) ... (fi Q. 
Comme le résultant de deux é(juations algébriques est une 
fonction rationnelle entière de leurs coefficients, les fonc- 
tions F2 . . . F„ seront encore holomorphes; d'après ce qui a 
été dit, elles s'annuleront pi ur tous les systèmes de valeurs 
de î/2-"l/n oc^...Xg qui appartiennent à des solutions y\..>yn 
Xi ... Xg des équations (.1). 
(*) Nous supposons, bien entendu, que le coefficient de la plus haute puis- 
sance de î/i est l'unité. Cette supposition sera toujours implicitement contenue 
dans toutes nos conclusions du § 2. 
