( 6 ) 
D'ailleurs, en supposant le lemme de Weierstrass applicable, 
les équations V = 0 sonl, dans le domaine de zéro, enlière- 
inenl é(juivalenles à des éijuations /' = 0 rationnelles entières 
en y.) et à coefficients holomorphes en y7^yj^...yn XY...Xg 
s'annulant au point zéro-. Donc, si nous adjoignons les équa- 
tions f =0 aux équations fj ==0 dans le domaine de (0), toute 
solution des équations (3) sera une solution des équations 
(Ij = 0 f' = (^) et réciproquement. 
En opérant maintenant sur les éipialions f =0 comme nous 
avons opéré sur les équations fj = 0, nous formerons des résul- 
tants V" qui ne dépendront plus que de y^...yn ....x^, et par 
le lemme de Weierstrass nous formerons des équations f" = 0, 
équivalentes aux équations f" = 0, mais rationnelles entières 
en î/3. Ces équations f" = 0 pourront être adjointes au sys- 
tème (fj = 0, f = 0) et toute solution des équations (3) sera 
solution des équations (fj = 0 f' = 0 f" =0) et réciproquement. 
En continuant de même, on arrivera à un système d'équations 
/•. = 0 /" = 0.../'^-^ = 0 0' = 1,2...n) (8) 
entièrement équivalent au système (5) dans le domaine de zéro. 
Ces équations seront respectivement des équations rationnelles 
entières en 2/1 î/2 ••• Vn ^ coefficients holomorphes respective- 
ment en (y^y^...yn xi...x,), {y^-'-Vn ^i-..^,) (^i-..^,), 
tous ces coefficients s'annulant au point zéro. 
Mais, par un théorème que nous établirons dans fa suite de 
ce travail (théorème I, corollaire, § 10), si f est une fonction 
rationnelle entière de degré p en î/2, dont le coefficient de est 
l'unité et dont les autres coefficients sont des fonctions holo- 
morphes de y-s '"Vn Xy ... Xg s'annulant au point zéro, toute 
fonction holomorphe a {y^ ... y^ Xy ... Xg) dans le domaine de 
zéro peut s'écrire identiquement 
a{y,...y^x,...Xs) = a^î/r + ^2?/^ + • • • + oc^ + /"'^^ (9) 
les a étant des fonctions holomorphes de y^ ...yn xi...Xg 
seulement et X une fonction holomorphe de t/^ ?/3 • • • !/n "^i • • • 
