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Si nous supposons donc que le polynôme f est le premier 
membre d'une des équations f' = 0 du système (8), à cause 
de f = Ô, les coefficients des équations fj = 0 du système (8) 
pourront, d'après (9), se placer sous forme de polynômes entiers 
en î/2 à coefficients holomorplies en ... Vn • • • oCg. Ces 
derniers coefficients eux-mêmes se ramèneront de la même 
manière au moyen d'une équation f" = 0 du système (8), à des 
polynômes entiers en à coefficients holomorplies en y^.-.y^ 
En continuant de même, et en faisant usage des équa- 
tions f" -= 0 ... f^'^ = 0 du système (8), on arrivera finalement 
à des coefficients qui seront des fonctions holomorphes de 
^1 ... Xg seulement, et alors les équations fj = 0 (j = 1,2... n) 
seront devenues des équations 
H, = O...H„ = 0 (10) 
rationnelles entières en y^ ... y^ et à coefficients holomorphes 
Xi ... Xg dans le domaine de zéro. 
Si l'on opère sur les équations f = 0, = 0... comme on a 
opéré sur les équations fj = 0, on ramènera également ces 
dernières à des équations algébriques 
H' = 0 H'' = 0 ... H"-^ = /-"-^ ^ 0 (11) 
respectivement entières en (y^y^ ... t/J, y^ ... y^) ... (Vn). et à 
coefficients holomorphes en x^ ... Xg. 
Par le procédé employé pour obtenir les équations (10) et 
(11), on voit que dans le domaine du point (0), toute solution 
des équations (3) satisfera à ces équations (10) et (11). 
Inversement, toute solution des équations (10) et (11) sera 
solution du système (3). 
D'abord, on a identiquement ]^^-^ = f^-\ Ensuite, par le 
théorème rappelé plus haut et exprimé par la formule (9), on a 
fn-2 _ Hn-2 _^ yn-i _ H"-^ -f- XH"^, 
et ainsi les équations H^~^ = 0 ir"^ = 0 entraînent dans le 
domaine de zéro les équations f^~^ = 0 /"""^ = 0. 
