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En continuant de même, on verra que les équations (10) et 
(1 1) entraînent toutes les équations (8). Or, celles-ci sont 
équivalentes au système (5). Donc toute solution de (10) et (il) 
sera solution des équations (5). 
Nous ne nous attarderons pas à examiner quelles sont parmi 
les équations (10) et (11) celles qui sont sural)ondantes et si 
l'on peut se borner à considérer seulement les équations (10). 
Il nous suffit, pour ce qui va suivre, d'avoir montré que toutes 
les solutions du système (5) dans le domaine de zéro peuvent 
en général (c'est-à-dire lorsque le lemme de Weierstrass est 
applicable) s'obtenir par la considération d'un système d'équa- 
tions algébriques en à coelïicients holomorphes 
en Xi ... Xg. 
3. La question posée à la fin du § 1 semble donc résolue; 
mais il faut reconnaître que la méthode employée est lourde, 
manque d'élégance; de plus, elle ne fournit de renseignements 
précis sur la réduction du système (3), que lorsque tous les 
calculs relatifs à cette réduction ont été effectués. 
Tout d'abord, pour qu'on puisse mener cette méthode à bien, 
il faut que le lemme de Weierstrass soit chaque fois applicable 
aux résultats F', F"... que l'on forme successivement, c'est- 
à-dire il faut pour chaque résultant que les dérivées relatives 
à une même variable y ne s'annulent pas toutes au point (0). 
Or, de la réalisation de ce fait on ne sera averti qu'en effec- 
tuant les calculs. 
îl en est de même en ce qui concerne le degré final des 
équations (10) et (11) en les différentes variables ?/i...y„. 
D'ailleurs, ainsi qu'on peut s'en assurer par un exemple, ce 
degré variera considérablement suivant l'ordre dans lequel on 
aura pris les variables y\ . . . Vn pour faire la réduction du 
système (3). 
Or, pour l'étude des singularités des fonctions i/| ... t/„ de 
a?i ... a;^ définies par le système (3) dans le domaine de zéro, 
il est, au contraire, de grande importance de ramener le sys- 
tème (3) à une forme algébrique canonique. 
