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4. Ces' inconvénienls n'existent pas dans le cas où le sys- 
tème (3) se réduit à une seule équation (5). Alors, le lemme 
de Weierstrass indique avant tout calcul la possibilité de la 
réduction si I une des dérivées — ne s annule pas au point zéro, 
et l'ordre de la première dérivée qui ne s'annule pas caractérise 
en même temps le degré de l'équation algébrique équivalente 
à l'équation donnée. 
Pour obtenir les mêmes avantages pour les systèmes d'équa- 
tions (3), il est naturel de chercher s'il n'existe pas certaines 
combinaisons des dérivées de ... F„ qui, pour les systèmes 
tels que (3), jouent le rôle des dérivées successives dans le cas 
d'une seule équation (5). 
Le présent travail apporte, croyons-nous, la première contri- 
bution à la question envisagée de ce point de vue. Nous avons 
été assez heureux pour ramener les systèmes (5) à une forme 
algébrique canonique lorsque l'un des mineurs du déterminant 
fonctionnel (formule 2) reste différent de zéro au point zéro 
et lorsqu'une série de combinaisons de dérivées J3 J4 qui 
seront définies dans la suite, ne s'annulenl pas toutes au point 
zéro. Comme dans le cas d'une seule équation, la première des 
quantités J qui ne s'annulent pas au point zéro caractérise les 
degrés des équations algébriques équivalentes au système (3). 
i e plus, ces fonclix)ns J se réduisent aux dérivées successives 
de l'équation (5), si le système (3) se réduit à cette seule équa- 
tion (5). 
5. L'obtention des quantités J5 ... ne constituait pas la 
seule difficulté du problème. Il fallait en même temps obtenir 
une métfiode de démonstration faisant entrer en considération 
ces quantités J3 ... 
On ne pouvait pas dans ce but songer à généraliser les 
démonstrations classiques du lemme de Weierstrass qui sont 
basées sur les intégrales de Cauchy ou simplement sur la varia- 
tion de l'argument du logarithme d'une fonction le long d'un 
contour formé; en effet, les propriétés sur lesquelles elles 
