( 10 ) 
s'appuient ou bien ne sonl pas connues, ou bien ne subsistent 
pas pour les fondions de plusieurs variables. 
D'ailleurs, il faut observer que les démonstrations classiques 
du lemme de Weierstrass établissent bien que l'équation (5) 
peut se ramener à une équation ((>) dont les coefficients a sont 
holomorplies; mais elles ne fournissent aucun moyen pour le 
calcul des valeurs d'un nombre quelconque de dérivées de ces 
coefficients au point zéro. La méthode de réduction du sys- 
tème (3) indiquée au § 12 est ainsi illusoire; car, si même on 
voulait s'en contenter, comme on ne connaît pas les dérivées 
des coefficients des équations (7), on ne pourrait pas connaître 
non plus les dérivées des résultants F' = 0, et ainsi il serait 
impossible d'appliquer à ceux-ci le lemme de Weierstrass pour 
les transformer en les polynômes f = 0. 
De toute façon, il fallait donc trouver une nouvelle méthode 
de démonstration du lemme de Weierstrass, si possible suscep- 
tible d'extension aux systèmes d'équations à plusieurs fonctions 
inconnues. 
6. Nous sommes parti de l'idée que les coefficients ... 
de l'équation (0), étant holomorphes, pouvaient être considérés 
comme définis par un système d'équations implicites à déter- 
minant fonctionnel différent de zéro et nous avons pu former 
aisément ces équations. En admettant, en effet, que les solutions 
de (6) satisfont à l'équation (5), on peut placer (th. I, § 9) cette 
dernière sous la forme 
F = ^,1/-^ + cp,î/^-2 + . . . + cp^ = 0, 
... ttp, et l'on peut voir 
(12) 
définissent les a en fonctions holomorphes des x (théorème II, 
§11). 
