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I. — Cas d'une seule équation (*). 
8. Lemme. — Si dans Téqualion de degré p 
y^^hy^-^Jr-'-^-h-iV + hp, (1) 
les coefficients (réels ou imaginaires) satisfont aux inégalités 
(t = l,2...7^), (p>0), (2) 
les racines y de (1) ne dépassent pas, en module, la quantité p. 
En effet, on a, à cause de (2), 
\y^-b,yP-^ h,\ > \y\^-\h,\ \y\v-^-,..-\b^\ 
\y\P-.t\y\V-i 
p p2 f 
Or, pour 1 1/ I > p, on a 
Par suite, 
— h,f-' > 0 pour |î/| > p, 
c'est-à-dire que (1) n'a pas de racine supérieure en module à p. 
(*) Dans cette étude on supposera connu le théorème des fonctions impli- 
cites pour un nombre quelconque d'équations. Comme on le sait, ce théo- 
rème peut s'établir au moyen de théorèmes élémentaires sur les variables 
réelles et des formules de définition des fonctions de variables complexes. 
De plus, les développements en séries des fonctions définies par les équa- 
tions données peuvent s'obtenir en calculant de proche en proche leurs 
coefficients, par différentiations successives de ces équations. 
