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9. Théorème I. — Soit V {y,Xi . . , x^) une fonction de 
yxi ... Xg holomorphe dans le domaine A formé par la réunion 
du domaine défini par |î/|<r(r>0) et du domaine D de 
variation des x. 
Si Ton prend pour y une racine de l'équation 
r=l>,y^-'+'-' + h^, (3) 
où l'on a 
\bi\ < - (égalités exclues) (i = 1,2 ...;)), (4) 
P 
on aura 
F (yx, ...x,) = ^,y^'' + (p^y^-^ -}-... + cp^, 
les cp étant des fonctions holomorphes des b et des x lorsque 
les 6 satisfont aux inégalités (4) et lorsque les x appartiennent 
au domaine D. 
D'après les conditions de l'énoncé on peut écrire 
F(yx,...x,)= f^A„y% (5) 
n=o 
OÙ les A„ sont des fonctions de Xi ... Xg holomorphes dans D. 
De plus, si l'on appelle M le module maximum de F dans A, 
on aura dans D 
M 
\^n\<-' (6) 
Actuellement, soit p une quantité positive inférieure à r : 
0 < p < r. (7) 
Alors si l'on a 
\bi\<^y (8) 
d'après le lemme précédent toutes les racines de l'équation (5) 
