( 18 ) 
On a, en eiï'el, 
ou bien 
.iAn^Kp.^y. (18) 
On pourra donc écrire 
F = <f,y^-' + f 2^^-' + "' + <fp> (19) 
lorsque y est racine de (3) moyennant (8). 
Propriétés des séries cp^. — Les séries cp^ considérées comme 
fonctions debi ...bp ei Xi ... sont des fonctions holomorphes 
de ces quantités lorsque les x appartiennent au domaine D et 
lorsque les b satisfont aux inégalités (8). En effet, dans ce cas 
les séries c^,^ sont, à cause de (18), des séries uniformément con- 
vergentes de fonctions holomorphes et sont ainsi des fonctions 
holomorphes. 
Comme dans tout ce qui précède p a pu être choisi aussi 
voisin qu'on le veut de r, on voit que si l'on donne les inéga- 
lités (4) (égalités exclues), il sera toujours possible de prendre p 
inférieur à r de manière à avoir les inégalités (8), et toutes les 
conséquences déduites de (8) subsisteront. 
Le théorème se trouve donc ainsi complètement démontré. 
10. Corollaire. — Si b^ ... b^ sont des fonctions holo- 
morphes de x^ ... Xg dans le domaine du point xi = ... = Xs = 0 
pour lequel elles s'annulent, et si l'on pose 
Vp-hy"^ K-^^ (20) 
la fonction ¥ \yx^ ...^s) holomorphe dans le domaine de 
