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y = = ... = Xg = 0 peut s'écrire identiquement dans ce 
domaine 
F(yx, ... Xs) = ^,y^-' + fzif-' + ••• + + ^z, 
les cp étant des fonctions holomorphes de ... x^ seulement 
et 1 une fonction holomorplie de yx^ ... Xg. 
En effet, les fonctions holomorphes ... s'annulant pour 
Xi = ... =Xg = 0 resteront aussi petites que l'on veut si ... 
sont suffisamment petits; alors z sera de même aussi petit que 
l'on veut si y est suffisamment petit, et ainsi les relations (4) 
relatives à l'équation (20), qui est 
r = hy^-' + M^-' + • + (/^p + 
seront vérifiées pour yxi ... Xg suffisamment petits. 
On aura donc, par le théorème que nous venons de démon- 
trer, 
F(yx, ..,Xs) = 'f ...bp-\- z, X, ...) y^-' + + cp^(ô,... + z, ...), (21) 
les ^ étant des fonctions holomorphes de b^ ... bj, + 5, j;, ... 
dans le domaine de zéro. 
Mais si b^ ...b^ sont suffisamment petits, les ^ considérés 
comme fonctions de z seront holomorphes dans le domaine 
de 2 = 0 et l'on pourra écrire les développements 
On aura donc, par (21), 
F, {yx, . . . Xg) = cp,i/^i + . . . + cp^ 4- (22) 
en posant 
\='^yv-ij^ h ^ + termes en z, 2^ etc. (23) 
