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Si l'on remplace maintenant dans la relation (22), z par sa 
valeur (20), et 6| ... 6^, par leurs expressions en ...x^, 
cpi ...cpp deviendront des fonctions holomorphes de ... 
seuls, et X deviendra une fonction holomorplie de x^x^ .,.Xg. 
Comme d'ailleurs yxi ... x^ sont restés arbitraires, sauf la 
condition d'appartenir au domaine suffisamment petit du 
point y = Xi = ... = Xg = 0, la relation (22) sera dans ce 
domaine une identité. 
11. Théorème II (lemme de Weierstrass). — Si la fonc- 
tion F (yxi ... Xg) est holomorphe dans le domaine du point 
y = Xi = ... Xg = 0; si de plus on a en ce point 
on peut écrire dans le domaine de y = x^ = ... Xg = 0 : 
F iyx, ...Xs) = if - b,y^-^ b^)K (yx, . . . x^), (24) 
les b étant des fonctions holomorphes de x^ ...Xg s'annulant 
en x^ = ... =Xg = 0, et K une fonction holomorphe i\eyxi...Xg 
différente de zéro en y = Xy = ... = Xg = 0. 
— Nous supposerons, comme dans le théorème précédent, 
que la fonction F est holomorphe dans un certain domaine A, et 
qu'ainsi elle donne lieu à un développement (5). 
D'après les conditions de l'énoncé on aura aussi en x^ = ... 
= Xg = 0 
(Ao)o = 0 (AOo = 0... (A^Oa=0 (A,)o 0. (^5) 
Considérons actuellement les équations 
cp, = 0 (fe=l,2...7;), (26) 
les fonctions cp^ étant définies par les séries (17). 
