{ 2i ) 
D'après le théorème précédent, ces fonctions sont holo- 
morphes en 6^ = ... 6^ = = ... = = 0. D'ailleurs on voit 
qu'elles s'annulent pour ce système de valeurs, car par (12) on 
obtient pour 6i = ... 6^ = 0 
(4)o = 0 pour l^p (k=i,^,.,p) (27) 
et pour ic, = ... Xg = 0, on a les formules (25). 
Nous allons montrer que le déterminant fonctionnel 
rapporté au système xi = . . . = = . . . bp = 0 est différent 
de zéro. 
Alors il résultera du théorème des fonctions implicites que 
les équations (25) définissent, dans le domaine de zéro, un 
système de fonctions 6^ ... 6^ holomorphes en ... et s'annu- 
lant en Xi = ... Xg = 0. 
Calculons à cet effet les quantités 
Les développements (17) étant uniformément convergents et 
à termes holomorphes, les séries des termes dérivés sont aussi 
uniformément convergentes, et l'on a, à cause de (25), 
< = l'H^-r' + b^+,^r' -f • • • + ^^af-^+'^-i (n > + 1 - k), (29) 
0 n=o \dhjJo 
(i8) 
Or, la formule (12), qui peut s'écrire 
donne 
pour 
; < k 
(30) 
et 
