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Cela étant, posons encore, 
(k = %3,...). 
(4) 
A cause de (2), cette relation définira par récurrence les 
déterminants jacobiens J^Js ... J*... 
Dans ces conditions, si l'on a au point zéro 
(F.)„ = 0 ... (F„)„ = 0 
(h)o = 0 (U = 0 ... (Jp_,)o = 0 mais (J^)o7^0 
(S) 
nous dirons que le système (Fi ... F„) a en i/i = ... î/^ = 0 un 
zéro d'ordre p (*). 
On peut observer que si le système (F| ... F^) se réduit à une 
seule fonction F(y), les quantités JjJgJs-.. se réduisent aux 
dérivées successives — , r-^, — ... et qu ainsi les conditions 5) 
dy dy^ dy^ ^ ^ ' 
expriment que le développement de F(y) en série de Taylor 
commence par un terme en yp. La définition précédente de 
l'ordre d'un zéro concorde donc avec la définition algébrique 
de la multiplicité d'une racine d'un polynôme entier. 
On pourrait vérifier aussi que l'ordre du zéro d'un système 
(Fi ... F^), tel que nous venons de le définir, ne change pas si 
l'on remplace ce système par un système équivalent (§ 15). 
Toutefois, la démonstration serait longue; aussi, nous borne- 
(*) On pourrait dire « zéro d'ordre p de première espèce », afin de rappe- 
ler que l'un des mineurs (gJIoza)o a été supposé différent de zéro. Toutefois, 
comme nous nous placerons toujours dans cette hypothèse, on peut se 
borner actuellement à la désignation plus brève du texte. 
