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Si alors la quantité 
I-x = ( H + cAdi ^ 
est nulle en yi = ...?/„ = = ...a:, = 0, il est possible de 
trouver n — 1 polynômes cp-2 ---^« liomogènes de degré k — i 
en i/i ...ijn et à coellicients constants, de telle manière que les 
dérivées 
2* F' 
(Pi-i hPn = k) 
de la fonction 
F; = F, + cp,F,+ ... + cp„F„ 
s'annulent au point zéro. 
— Ce théorème se déduit aisément du précédent. 
Les fonctions étant holomorphes dans le domaine de 
y^ = ...y^ = Xi = ... = Xs = 0 admettent des développements 
et il en est de même pour les combinaisons linéaires des fonc- 
tions F à coefficients polynomiaux. Dans ces développements, 
les A sont des fonctions holomorphes des x dans le domaine 
de = ... Xs = 0. 
Comme les dérivées 
dyï'.-^dy^n 
rapportées au point zéro, ne diffèrent que par un coefficient 
numérique des coefficients (Aj5,^p„)o correspondants, notre 
théorème sera démontré si nous prouvons qu'il existe une 
combinaison linéaire 
F;=F, + cp,F,+ ... + cp„F„ (19) 
telle que les coefficients des termes de degré km y[...yny dans 
son développement, s'annulent en x^ = ... = Xg = 0. 
