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D'ailleurs, les polynômes (p^ ... <fi ••• 'fn > ^) devant êtie de 
degré /c — 1 , les seuls termes de degré k des produits cp^Fj seront 
fournis par les termes du premier degré des Fj. On pourra donc, 
au point de vue de l'élude des termes de degré k de F^, limiter 
les Fi pour i > 1 aux termes du premier degré de leurs déve- 
loppements en t/i ... î/n' et ne considérer dans F^ que les 
termes de degré k. 
Appelons donc fi l'ensemble des termes de degré k de Fi, 
et ft les termes du premier degré de Fj pour t > 1, les fonctions 
Fi ... Fn étant déjà rapportées k x^ = ... Xg = 0. 
Il est visible que la valeur de L,^ pour le point zéro ne 
dépend que des parties fi ...f^ des fonctions Fi ... F^. Or, 
comme par hypothèse (Ly^)o = 0, en vertu du théorème précé- ^ 
dent (§17) on peut trouver n — 1 polynômes homogènes de 
degré k — \ en y i ... y ^ donnant identiquement 
/i-f-?2/.-f-- + ?/. = 0. (20) 
Si l'on porte les polynômes cp ainsi déterminés dans la 
formule (19), la fonction F[ jouira, d'après (20), de la pro- 
priété que les coefficients des termes de degré k de son déve- 
loppement s'annulent pour ^| = ... a?^ = 0, et d'après ce qui a 
été dil ci-dessus, cette propriété équivaut au théorème annoncé. 
Remarque. — Il y a lieu d'observer que les coefficients des 
termes de degrés inférieurs k k — 1 dans les développements 
de Fi et F^ sont identiques, ce qui revient à dire que les valeurs 
des dérivées en //i ... //^ d'ordres inférieurs à k — I, de F^ et F{ 
sont égales en = ... = yn = 0. 
De plus, on voit facilement qu'il en est de même pour les 
dérivées d'ordre k — i, au point y^ ... = î/^ = a?, = ... 
= Xg = 0 SI les fonctions F, s'annulent en ce point. 
19. Théorème VI. — Considérons encore le système de 
fonctions 
y (yi-'-Vn x,...x,) (i = 1,2...w) 
holomorphes en = ... y^ = = ... = Xg = 0 el supposons 
