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Or, dans le cas qui nous occupe, on a, d'après les hypothèses 
de l'énoncé, 
(Ji)o = r Ai p) = 0. 
Donc il existe une transformation (24), telle que les dérivées 
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premières s'annulent au point zéro. 
En admettant, pour éviter la trop grande multiplicité des 
noiations, que les fonctions ont déjà suhi éventuelle- 
ment cette transformation, nous pourrons supposer, comme 
plus haut, que les dérivées g^,.. ^ g^... d'ordres inférieurs à h 
s'annulent toutes pour le point zéro. Mais alors, d'après (23) 
et si h < p, on aura d'après l'énoncé (J;j)o = 0; c'est-à-dire 
qu'il existera encore une transformation (24) telle que les 
dérivées d'ordre h de F[ s'annulent toutes au point zéro. Mais 
d'après la remarque du § 18, cette transformation n'altère pas 
la valeur au point zéro des dérivées d'ordre inférieur à /t de Fi, 
et ainsi les dérivées de V[ s'annulent toutes, jusqu'à l'ordre h 
inclus, au point zéro. 
Si l'on a encore (J;,^Jo = 0, on fera usage d'une nouvelle 
transformation (24), et en continuant de même, on arrivera 
finalement à une fonction ^ dont toutes les dérivées en ...yn^ 
d'ordres inférieurs à p, s'annuleront au point zéro. 
De plus, comme le produit de deux transformations telles 
que (24) est une transformation de même nature, on aura 
4> = F, + X,F,-f ...+X„F„, (25) 
où les \i seront les sommes des polynômes cp^ correspondant 
aux différentes transformations (24) que l'on aura utilisées. 
Comme, d'après le théorème V (§ 18), les cp^ sont des poly- 
