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en ^1 = ... = = 0 lin zéro d'ordre p en //i = ... = y„ = 0, 
il fiuit d'abord que l'un au moins des mineurs du déterminant 
fonctionnel Ji ne soit pas nul au point zéro; en faisant éven- 
tuellement une permutation sur les indices des fonctions F et 
des variables y, nous pourrons toujours supposer 
(cJI,h)o7^0. (27) 
De plus, il faut encore avoir (§ 15) 
(J,)o=---(Vi)o = 0, (28) 
mais 
WoT^O. (29) 
Cela étant, on observera tout de suite que si le théorème est 
démontré pour un système (F^ ..F^) équivalent à (Fi...F„) (*), 
il le sera par le fait même, pour le système (F^ ... FJ. Car, par 
la définition des systèmes équivalents, les F^ seront des combi- 
naisons linéaires des F' dont le déterminant des coefficients ne 
sera pas nul au point zéro; par la supposition faite, les F' seront 
aussi des combinaisons linéaires des H dont le déterminant des 
coefficients sera diff'érent de zéro, et d'après une propriété bien 
connue des substitutions linéaires, il en sera donc de même 
pour l'expression des F en fonction des H. 
Nous pourrons donc d'après cela, remplacer le système 
(Fi ... F„) par le système équivalent (^Fç, ... F„), où 
^ = F,-f X,F, + ...+X„P„, (30) 
les X étant holomorphes au point zéro. 
Or, comme actuellement, les fonctions F^ ... F„ s'annulent 
au point zéro, d'après le théorème précédent (§ 19), on peut, 
à cause de (28), trouver une fonction <I> de la forme (50) telle 
(*) Mais en partant, bien entendu, des conditions (28) et (29) relatives au 
système (Fi ... F„). 
