{ 45 ) 
Inversement, il est visible que toute solution de (46) ser;i 
solution de (43) et ainsi de (35). 
Le théorème annoncé va maintenant se déduire aisément 
du résultat précédent, par applications répétées du corollaire 
du Théorème I (§ 10), qui vient encore de nous servir. 
En effet, dans (45) les (f^ sont des fonctions holomorphes 
de y^XJ^ ... Xg, qui s'annulent nécessairement au point zéro, 
puisque = 0. En appliquant le corollaire rappelé pour 
p = i, on aura donc identiquement dans le domaine de zéro 
b\(y,...y„ x,...Xs) = Fi(y^...y„_, x, ... Xs) ^ n„Ki^ (/ = 1,2...?0, 
Frétant une fonction holomorplie ne dépendant plus de y^- 
En opérant de même sur et faisant successivement usage 
de H„_i ... H3H2, on voit qu'on arrivera finalement à une 
expression 
UVi-'-yn Xi'^'X,)==F'l-'(y,x,...Xs)+E,K^,+ -'-{-n„K^„ (/ = l,2...w), 
tous les lin 6l F?"^ étant holomorphes, mais F?~* ne dépendant 
plus de y2--- 2/n- 
Finalement, en faisant usage du polynôme (formule 42), 
on écrira 
F,(i/,...y„a^,...aî,) = n2/r + --- + /f + H,K,, + --- + HA, ) 
(/=1,2...n), ( ^^^^ 
les f étant holomorphes et ne dépendant plus que de x^ ... x^. 
On peut voir que les f sont identiquement nuls. 
Car, d'après ce qui précède, les équations H4 = 0 ... = 0 
entraînent F; = 0 (/ = 1, 2, ... n), c'est-à-dire, d'après (47), 
n2/r* + --- + /f = 0 (/ = l,2...n) (48) 
et ainsi, pour tout système x^ ... x^, toute racine y^ de l'équa- 
tion de degré p 
Hi = 0 
devra être racine de l'équation (48) de degré p — 1. Cela ne 
