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D'antre part, par applications répétées du corollaire du Théo- 
rème l (§ 10), on a identiquement 
..y, x,...Xs) = fi(yi'"yn^i Xy...Xs) }-(y„ — '\>n)fin 
= /a (î/l • • • ^'l . . . 'ï^8) 4- (//„-! — Qn-i + (//. — 
= fn-l {yiXi . . . A3) + (.V2 — ^2) 0^2 H h — ^n) 9n , 
les fonctions f^fc^ ... qu'on obtient successivement, dépen- 
dant chaque fois d'une variable y en moins et étant holo- 
morphes ainsi que les fonctions g. 
A cause des identités (55), on obtient donc finalement pour ¥\ 
une expression de la forme 
F, = F' {y,x,...x,) - X„F„, (56) 
les \ et F' étant holomorphes, mais F' ne dépendant que de 
Actuellement, remplaçons le système (F|...F„) par le 
système (F'Fg... F„) [cette transformation étant une transfor- 
mation équivalente (§ 13)]; d'après le Théorème IH (§ 1(3), les 
valeurs des J;^ pour le nouveau système seront également toutes 
nulles au point zéro. Appelons JJ^ les expressions des J^. relatives 
à ce système (F'Fg ... FJ. On a, puisque F' ne dépend pas de 
= ^~r~ = ^ ciUi^ (57) 
n a^F' a F' 
J2 = y — - = — ô ' + termes en — (58) 
i^i dyu dyl ' dyi 
et, en général, 
a'^F' a''F' 
r= JUfi — - -\- termes en — ~ pour h < k. (59) 
dyf dyi 
Or, maintenant, puisque (Ji)o = 0, quel que soit k, et que 
