( M ) 
(ciliijo 7^ 0, on aura successivement, par (57), (58), (59), 
KwJr l^jo^*'^*'^"^^"^'"''' ( s^jr ^"-^ *• 
Donc, pour Xi = ... = = 0, on aura F' = 0, quel que 
soit yi , et pour 
Vz = i>2 iVi 0 ... 0) ... i/„ = {y, 0 ... 0) (60) 
les équations F2 = 0 ... = 0 seront vérifiées. 
Comme les systèmes (F^F^ ... F^^ et (F4F2 ... FJ sont équi- 
valents, les valeurs (60) vérifieront aussi, quel que soit y^, et 
pour = ... = Oy les équations 
F, = O...F„ = 0, 
et ainsi la propriété annoncée se trouve établie. 
22. Invariance de l'ordre du zéro d'un système (F\ ... F^J 
dans les transformations équivalentes de ce système. — Nous 
terminerons en démontrant que l'ordre du zéro d'un système 
de fonctions (F4 ... FJ n'est pas altéré quand on remplace ce 
système [)ar un système (Fi ... F^'j) équivalent. Nous avons déjà 
annoncé cette propriété (§ 15) et nous l'avons démontrée dans 
un cas particulier (§ 16). 
Nous pouvons maintenant l'établir en toute généralité d'une 
façon bien simple. 
Plaçons-nous dans les mêmes conditions que dans l'énoncé 
du Théorème VII (§ 20). Comme toute transformation équi- 
valente de (F4 ... FJ est, à cause de (26), une transformation 
équivalente du système (Hi ... HJ, il nous suffira de démontrer 
que tout système (Fi ... FJ équivalent à (H^ ... H^J a pour 
Xi = ... x^ = 0 un zéro d'ordre p en y^^ = ... = = 0. Il en 
résultera, en particulier, que (H4 ... H„) a en ce point un zéro 
d'ordre ce (jue l'on peut vérifier directement. 
