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23. Remarque finale. — Les questions traitées dans les 
pages qui précèdent ont avec la théorie de l'élimination 
d'intimes attaches. 
Ainsi, la quantité (formule il), qui a joué un rôle impor- 
tant, n'est autre chose que le résultant des formes fj\ ...f^ du 
Théorème IV. On peut voir que = 0 est la condition néces- 
saire et suffisante pour que les équations homogènes 
/, = 0 ... ^„ = 0 
admettent une solution différente de zéro, et cela même lorsque 
tous les mineurs oilî),^ ... sont nuls. 
D'un autre côté, on peut dire aussi que l'équation H4 = 0 
est, dans le domaine de zéro, l'éliminant en du système 
Fi = 0 ... F„ = 0. 
Mais, précisément, de cette parenté des deux questions pro- 
vient la difficulté de la généralisation complète du lemme de 
Weierstrass. 
Il faut remarquer, en effet, que, dans ce qui précède, n — 1 
des équations F 0 ont toujours joué le rôle d'équations 
linéaires, grâce au fait que l'un au moins des mineurs du 
jacobien J4 restait différent de zéro au point zéro; on pouvait 
en déduire alors n — 1 des variables y dont l'élimination dans 
l'équation F = 0 restante se faisait ainsi sans difficulté. 
Mais il n'en sera plus de même, si nous supposons que tous 
les (cJlo^Jo sont nuls. Les éliminants des systèmes d'équations 
s'introduiront alors d'eux-mêmes dans toute leur généralité et, 
avec eux, toutes les difficultés de la théorie de l'élimination. 
Cependant, si par une méthode convenable on pouvait 
démontrer complètement la généralisation du lemme de Weier- 
strass (*), on pourrait, par contre-coup et à cause de la préci- 
(*j Moyennant une définition convenable de l'ordre du zéro d'un sys- 
tème (Fi ... F„) lorsque tous les [Xinfa sont nuls, cette généralisation sera 
très probablement comprise dans l'énoncé du Théorème VII, § 20. 
