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sion du résultat analytique, obtenir des résultats intéressants 
pour l'algèbre. C'est ce qui arrive notamment pour la multipli- 
cité des racines d'un système d'équations algébriques. 
Considérons, en effet, un système d'équations algébriques 
Fi(2/i....V„) = 0 ... ¥,(y,...y„) = 0, (67) 
à coefficients constants et dont yji = ...=y^ = 0 est une 
racine. 
Si l'on pose 
y = c,y,-\ VCnyn^ (68) 
les c étant des paramètres indéterminés, il existe, comme on 
sait, une équation algébrique 
E(2/) = 0 
dont toute racine y est de la forme (68) et fournit une racine 
y\.>.yn du système (67) : c'est l'éliminant de ce système. Si 
cet éliminant a une racine y = 0 multiple d'ordre p, on dit 
que le système (67) a une racine y^ = ... = 0 multiple 
d'ordre p. 
On a pu démontrer que la condition nécessaire et suffisante 
pour que y^ = ... = y^ = 0 soit une racine multiple d'ordre 2 
au moins du système (67), est que le jacobien de ce système 
s'annule au point zéro; mais, jusqu'à présent (*), on n'a pas 
trouvé les conditions nécessaires et suffisantes pour que yy = ... 
= y^==0 soit une racine multiple d'ordre 3 au moins du 
système (67) (*). 
Or, ces conditions sont précisément, outre (J|)o = 0, la condi- 
tion (Jc2)o = 0 et les conditions analogues (J2)q = 0... (J^~%=:0 
que l'on obtient en permutant le rôle des fonctions F dans (S^)o. 
{*) Voir V Encyclopédie des sciences mathématiques, 1. 1, vol. II (Algèbre), 
p. 145. 
